ماتریس: تفاوت میان نسخهها
بدون خلاصۀ ویرایش |
Mohammadi3 (بحث | مشارکتها) بدون خلاصۀ ویرایش |
||
| خط ۱: | خط ۱: | ||
[[File:38003300.jpg|thumb|ماتْريس]] | |||
ماتْریس (matrix)<br/> | |||
در ریاضیات، آرایه<ref>array | |||
</ref>ای مستطیلی، شامل m سطر و n ستون، یا مربعی شامل n سطر و n ستون، از اعداد یا عبارتهای جبری. این اعداد و عبارات عناصر<ref>elements </ref> یا درایهها<ref>entry | </ref>ای مستطیلی، شامل m سطر و n ستون، یا مربعی شامل n سطر و n ستون، از اعداد یا عبارتهای جبری. این اعداد و عبارات عناصر<ref>elements </ref> یا درایهها<ref>entry | ||
</ref>ی ماتریس نامیده میشوند. ماتریس برای تسهیلِ بررسی مسائلی بهکار میرود که در آنها رابطۀ بین این عناصر مهم است. در واقع، ماتریس وسیلهای برای فشردهسازی اطلاعات دستگاههای ریاضی است و در موارد متعدد، ازجمله برای حل دستگاههای معادلات خطی<ref>systems of linear equations</ref> (← [[ | </ref>ی ماتریس نامیده میشوند. ماتریس برای تسهیلِ بررسی مسائلی بهکار میرود که در آنها رابطۀ بین این عناصر مهم است. در واقع، ماتریس وسیلهای برای فشردهسازی اطلاعات دستگاههای ریاضی است و در موارد متعدد، ازجمله برای حل دستگاههای معادلات خطی<ref>systems of linear equations</ref> (← [[دستگاه معادلات|دستگاه معادلات]])، بهکار میرود. فایدۀ ماتریس در این است که بهجای درنظرگرفتن تعدادی کمیت جداجدا، به آرایشی از همۀ آنها یک نماد نسبت داده و آن را از نظر جبری مطالعه میکنند. این نماد معمولاً یکی از حروف بزرگ الفبای لاتین است و درایههای ماتریس را هم معمولاً با حرف کوچک متناظر، همراه با زیرنویسهای نشاندهندۀ سطر و ستون درایه، نشان میدهند. مثلاً، ماتریس را با Aو درایههای آن را a<sub>ij</sub> مینمایانند که بهمعنیِ درایۀ واقع در سطر i ام و ستون j ام است. ماتریس را نیز گاه با [a<sub>ij</sub>] نشان میدهند. اندازه یا مرتبه ماتریس برحسب تعداد سطرها و ستونهای آن بیان میشود، مثلاً ماتریسی که سه سطر و دو ستون دارد، ماتریسی ۲×۳ است. بهطور کلی، ماتریسی با m سطر و n ستون را ماتریس m×n میگویند. ماتریسی که تعداد سطرها و ستونهایش برابر باشد، ماتریس مربعی<ref> square matrix </ref> نامیده میشود و مرتبۀ آن تعداد سطرها یا ستونهایش است. به هر ماتریس مربعی عددی به نام دترمینان<ref>determinant </ref> نسبت میدهند. دو ماتریس A و B را برابر گویند، اگر تعداد سطرهایشان باهم و تعداد ستونهایشان باهم برابر و بهازای هر i و هر j تساوی a<sub>ij</sub> = b<sub>ij</sub> برقرار باشد. مجموع دو ماتریس A و B، که هر دو m×n باشند، ماتریسی m×n چون S=A+B است که هر درایۀ s<sub>ij</sub> واقع در سطر i ام و ستون j ام آن، برابر a<sub>ij</sub> + b<sub>ij</sub>، یعنی مجموع درایههای A و B در سطر و ستون متناظر، است. حاصلضرب اسکالر عدد c در ماتریس A ماتریسی است که با cA یا Ac نشان داده میشود و درایههای آن عبارتاند از ca<sub>ij</sub>. برای ضرب ماتریسها باید تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصلضرب ماتریس A در ماتریس B ماتریسی است مانند C که تعداد سطرهایش برابر تعداد سطرهای A و تعداد ستونهایش برابر تعداد ستونهای B است، یعنی اگر A ماتریسی m×n و B ماتریسی n×p باشد، C ماتریسی m×p است. درایۀ c<sub>ij</sub> واقع در سطر i ام و ستون j ام C به این طریق بهدست میآید که درایۀ اول سطر i ام A در درایۀ اول ستون j ام B، درایۀ دوم سطر i ام A در درایۀ دوم ستون j ام B، و بههمین ترتیب، ضرب میشود و حاصلضربها را با هم جمع میکنند یعنی c<sub>ij</sub> = a<sub>i۱</sub> b<sub>۱j</sub> + a<sub>i۲</sub>b<sub>۲j</sub> + .... + a<sub>in</sub> b<sub>nj</sub>. نظریۀ اولیۀ ماتریس را عمدتاً آرتور کیلی<ref>Arthur Cayley </ref> (۱۸۲۱ـ ۱۸۹۵)، ریاضیدان بریتانیایی، ابداع کرد، ولی واضع اصطلاح ماتریس ریاضیدان معاصر کیلی، جیمز سیلوستر<ref>James Sylvester</ref> (۱۸۱۴ـ ۱۸۹۷)، بود. | ||
| | ||
نسخهٔ کنونی تا ۱۸ ژوئن ۲۰۲۶، ساعت ۲۰:۴۵
ماتْریس (matrix)
در ریاضیات، آرایه[۱]ای مستطیلی، شامل m سطر و n ستون، یا مربعی شامل n سطر و n ستون، از اعداد یا عبارتهای جبری. این اعداد و عبارات عناصر[۲] یا درایهها[۳]ی ماتریس نامیده میشوند. ماتریس برای تسهیلِ بررسی مسائلی بهکار میرود که در آنها رابطۀ بین این عناصر مهم است. در واقع، ماتریس وسیلهای برای فشردهسازی اطلاعات دستگاههای ریاضی است و در موارد متعدد، ازجمله برای حل دستگاههای معادلات خطی[۴] (← دستگاه معادلات)، بهکار میرود. فایدۀ ماتریس در این است که بهجای درنظرگرفتن تعدادی کمیت جداجدا، به آرایشی از همۀ آنها یک نماد نسبت داده و آن را از نظر جبری مطالعه میکنند. این نماد معمولاً یکی از حروف بزرگ الفبای لاتین است و درایههای ماتریس را هم معمولاً با حرف کوچک متناظر، همراه با زیرنویسهای نشاندهندۀ سطر و ستون درایه، نشان میدهند. مثلاً، ماتریس را با Aو درایههای آن را aij مینمایانند که بهمعنیِ درایۀ واقع در سطر i ام و ستون j ام است. ماتریس را نیز گاه با [aij] نشان میدهند. اندازه یا مرتبه ماتریس برحسب تعداد سطرها و ستونهای آن بیان میشود، مثلاً ماتریسی که سه سطر و دو ستون دارد، ماتریسی ۲×۳ است. بهطور کلی، ماتریسی با m سطر و n ستون را ماتریس m×n میگویند. ماتریسی که تعداد سطرها و ستونهایش برابر باشد، ماتریس مربعی[۵] نامیده میشود و مرتبۀ آن تعداد سطرها یا ستونهایش است. به هر ماتریس مربعی عددی به نام دترمینان[۶] نسبت میدهند. دو ماتریس A و B را برابر گویند، اگر تعداد سطرهایشان باهم و تعداد ستونهایشان باهم برابر و بهازای هر i و هر j تساوی aij = bij برقرار باشد. مجموع دو ماتریس A و B، که هر دو m×n باشند، ماتریسی m×n چون S=A+B است که هر درایۀ sij واقع در سطر i ام و ستون j ام آن، برابر aij + bij، یعنی مجموع درایههای A و B در سطر و ستون متناظر، است. حاصلضرب اسکالر عدد c در ماتریس A ماتریسی است که با cA یا Ac نشان داده میشود و درایههای آن عبارتاند از caij. برای ضرب ماتریسها باید تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصلضرب ماتریس A در ماتریس B ماتریسی است مانند C که تعداد سطرهایش برابر تعداد سطرهای A و تعداد ستونهایش برابر تعداد ستونهای B است، یعنی اگر A ماتریسی m×n و B ماتریسی n×p باشد، C ماتریسی m×p است. درایۀ cij واقع در سطر i ام و ستون j ام C به این طریق بهدست میآید که درایۀ اول سطر i ام A در درایۀ اول ستون j ام B، درایۀ دوم سطر i ام A در درایۀ دوم ستون j ام B، و بههمین ترتیب، ضرب میشود و حاصلضربها را با هم جمع میکنند یعنی cij = ai۱ b۱j + ai۲b۲j + .... + ain bnj. نظریۀ اولیۀ ماتریس را عمدتاً آرتور کیلی[۷] (۱۸۲۱ـ ۱۸۹۵)، ریاضیدان بریتانیایی، ابداع کرد، ولی واضع اصطلاح ماتریس ریاضیدان معاصر کیلی، جیمز سیلوستر[۸] (۱۸۱۴ـ ۱۸۹۷)، بود.